djwj233 的博客

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初赛杂题笔记

posted on 2021-09-08 20:09:40 | under 笔记 |

记录一些初赛卷中的题目。(有些题目选项略去)

  • 一个圆形水池中等概率分布着四只鸭子,那么存在一条直径,使鸭子都在直径一侧的概率是($\dfrac{1}{2}$)。

这里的解释较为详尽,可以参考。

另外也可以通过计算积分式:$$ \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi}(\frac{x}{2\pi}\times \frac{2\pi-x}{2\pi}+\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi-x}\frac{2\pi-x-y}{2\pi}\ \mathrm{d}y)\ \mathrm{d}x $$ 求出答案为 $\dfrac{1}{2}$。

  • 与 $\sum\limits_{i=0}^{10} \dbinom{15+i-1}{i}$ 相等的是($\dbinom{25}{10}$)

原式等于下面的左式,然后利用一个组合恒等式推出右式。$$ \sum\limits_{i=0}^{10} \dbinom{14+i}{14}=\dbinom{24+1}{14+1} $$ 其中,左式的意义是在前 $14+i$ 个物品中选取 $14$ 个的方案数。那么我们对每个 $i$,在它后面再选取一个物品作为最后一个物品。

可以发现,两种取法一一对应,又因为第二种取法相当于在 $24+1$ 个物品里取 $14+1$ 个,因此可以推出上式。

因此由 $\dbinom{25}{15}=\dbinom{25}{10}$ 可得答案。

  • 现在有 $20$ 个人约定一起玩一局游戏。但是因为可能要补作业,所以每个人有 $\dfrac{1}{2}$ 的概率最终参加。

    他们认为一局游戏的有趣程度为参加人数的平方,则游戏有趣程度的期望是多少?

答案为:$$ \dfrac{\sum_{i=0}^n i^2\dbinom{n}{i}}{2^n} $$ 但是我们发现这个二次项非常的难拆。注意到组合恒等式$$ \binom{a}{b}\binom{b}{c}=\binom{a}{c}\binom{a-c}{b-c} $$ 可以考虑把 $i^2$ 拆成组合数的形式。经尝试有:$i^2=2\dbinom{i}{2}+\dbinom{i}{1}$,因此原式等于$$ \dfrac{\sum_{i=0}^n 2\dbinom{i}{2}\dbinom{n}{i}+\dbinom{i}{1}\dbinom{n}{i}}{2^n} $$

$$ =\dfrac{2\sum_{i=0}^n \dbinom{n}{2}\dbinom{n-2}{i-2}+\sum_{i=0}^n \dbinom{n}{2}\dbinom{n-2}{i-2}}{2^n} $$

注意到$$ \sum_{i=0}^n\dbinom{n-k}{i-k}=\sum_{i=0}^{n-k}\dbinom{n-k}{i}=2^{n-k} $$ 因此原式即为$$ \dfrac{2\dbinom{n}{2}2^{n-2}+\dbinom{n}{1}2^{n-1}}{2^n}=\dfrac{n^2+n}{4} $$ 代入 $n=20$ 可得答案为 $105$。

  • 一位妈妈生了 n 胞胎,这 n 个孩子长得非常相似,让人无法辨认。一 天晚上,妈妈要给这 n 个孩子洗澡。妈妈每次从孩子中抓出一个洗澡,洗完后又 把他放回孩子之中,如此重复 n 次。问题:若 n=10,则在所有的可能中,恰好 只有三个孩子没有洗澡的可能性约为 A.14% B.36% C.31% D.17%